8進数で有限小数になるかを見抜く方法 ～約分して分母を見るだけ～
目次
はじめに
基本情報技術者試験では、2進数・8進数・16進数などの基数変換に関する問題がよく出題されます。
今回のような問題では、
10進小数を8進数に変換したとき、有限小数になるものはどれか
という形で出題されます。
実際に小数変換をする方法もありますが、もっと簡単な方法があります。
それは、
「分数にして、約分後の分母を見る」
という方法です。
8進数の仕組みを理解する
まず、8進数とは何でしょうか？
10進数では、
を基準にしています。
一方、8進数では、
が基準です。
さらに、
と表せます。
つまり、8進数の小数は、
のような形になります。
分解すると、
です。
つまり、8進数で有限小数になる条件は、
約分した後の分母が2のべき乗になること
です。
問題
次の10進小数のうち、8進数に変換したとき有限小数になるものはどれか。
ア 0.3
イ 0.4
ウ 0.5
エ 0.8判断方法
① 0.3の場合
小数を分数にします。
約分できません。
分母を見ると、
です。
5が残っています。
分母
10
↓
2 × 5
5がある
↓
有限にならないしたがって、
❌ 0.3
② 0.4の場合
約分します。
分母は5です。
分母
5
2の仲間ではない
↓
有限にならない❌ 0.4
③ 0.5の場合
約分すると、
になります。
分母は、
2
だけです。
これは、
なので条件を満たします。
実際に確認すると、
は、
になります。
なぜなら、
だからです。
⭕ 0.5
④ 0.8の場合
約分すると、
です。
分母を見ると、5
があります。
分母
5
2のべき乗ではない
↓
有限にならない❌ 0.8
答え
覚え方
基数変換の有限小数判定は、次の表で覚えると便利です。
| 変換先 | 基数 | 有限小数になる条件 |
|---|---|---|
| 2進数 | 2 | 分母が2のべき乗 |
| 8進数 | 8（=2³） | 分母が2のべき乗 |
| 16進数 | 16（=2⁴） | 分母が2のべき乗 |
| 10進数 | 10（=2×5） | 分母が2と5だけ |
なぜ「約分」が重要なのか？
例えば、
を見ると、
「分母が8だから大丈夫」
と思ってしまいます。
しかし、
です。
有限小数かどうかを判断するときは、
必ず約分後の分母を見る
ことが重要です。
試験での解き方（最短ルート）
① 小数を分数にする
0.5 → 5/10
② 約分する
5/10 → 1/2
③ 分母を見る
2のべき乗？
↓
Yes
有限小数！この方法なら、実際に8進数へ変換する計算をしなくても数秒で判断できます。
まとめ
8進数で有限小数になるかを判断するときは、
- 10進小数を分数にする
- 約分する
- 分母が2のべき乗か確認する
これだけです。
「変換する前に、分母を見る」
という考え方を身につけると、基数変換問題のスピードが大きく上がります。
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